Вестник БГУ. Математика, информатика
Библиографическое описание:
ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ В ГИРОТРОПНЫХ СРЕДАХ // Вестник БГУ. Математика, информатика. - 2022. №4. . - С. 12-29.
Заглавие:
ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ В ГИРОТРОПНЫХ СРЕДАХ
Финансирование:
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22- 27-00006, https://rscf.ru/project/22-27-00006/
Коды:
Аннотация:
Для гиротропной среды операторы эллиптических краевых за- дач электропроводности, традиционно формулируемых для электрического по- тенциала, несимметричны, что затрудняет численное решение таких задач. В настоящей работе используются предложенная автором формулировка крае- вой задачи с симметричным положительно определенным оператором. Новыми неизвестными функциями являются пары специальных потенциалов, скалярно- го и векторного, которые в частных случаях совпадают с электрическим потен- циалом и функцией тока. Аналогичные задачи формулируются при моделиро- вании теплопроводности или диффузии в движущихся или гиротропных средах. Для новой задачи справедлив принцип минимума квадратичного функционала энергии, аналогичный принципу Дирихле для уравнения Пуассона. Введенная энергетическая норма эквивалентна сумме энергетических норм четырех новых неизвестных функций как элементов пространств, используемых для основных краевых задач для уравнения Пуассона. Это позволяет использовать класси- ческие теоремы аппроксимации решений кусочно-линейными функциями и со- здать простой вариационно-разностный метод, то есть свести задачу к системе линейных алгебраических уравнений для узловых значений аппроксимирую- щих функций. Матрица этой системы симметрична и положительно определе- на. В настоящей работе выведены формулы, необходимые для построения ко- эффициентов этой матрицы, начиная с геометрических построений в сеточных тетраэдрах. Предложена дискретная модель, позволяющая интерпретировать одно из уравнений вариационно-разностной схемы как закон сохранения заря- да, проинтегрированный по ячейкам сетки. На примерах показана сходимость получающихся приближенных решений при мельчении сетки.
Ключевые слова:
эллиптическое уравнение, краевая задача, электропроводность, гиротропная среда, несимметричный оператор, энергетический метод, вариационно-разностный метод.
Список литературы:
Даутов Р. З., Карчевский М. М. Введение в теорию метода конечных элементов: учебное пособие. Казань: Казан. ун-т, 2011. 240 с.
Денисенко В. В. Симметричные операторы для задач переноса в трехмерных движущихся средах // Сибирский журнал индустриальной математи- ки. 2001. Т. 4, № 1(7). С. 73–82.
Денисенко В. В. Энергетические методы для эллиптических уравнений с несимметричными коэффициентами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1995. 204 с.
Денисенко В. В. Энергетический метод для трехмерных эллиптических уравнений с несимметричными тензорными коэффициентами // Сибирский математический журнал. 1997. Т. 38, № 6. С. 1267–1281.
Денисенко В. В., Помозов Е. В. Расчет глобальных электрических полей в земной атмосфере // Вычислительные технологии. 2010. Т. 15, № 5. С. 34–50.
Коновалов А. Н. Сопряженно-факторизованные модели в задачах математической физики // Сибирский журнал вычислительной математики. 1998. Т. 1, № 1. С. 25–57.
Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. Москва: Гостехиздат, 1957. 378 с.
Оганесян Л. А., Руховец Л. А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд-во АН Арм. ССР, 1979. 235 с.
Фаддеев Д. К., Фаддеев В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Москва: Физматгиз, 1963. 734 с.
Федоренко Р. П. Итерационные методы решения разностных эллиптических задач // Успехи математических наук. 1973. Т. 28, № 2(170). С. 121–182.
Denisenko V. V., Nesterov S. A. Energy Method for the Elliptic Boundary Value Problems with Asymmetric Operators in a Spherical Layer // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2021. V. 14, No. 5. P. 554–565. DOI: 10.17516/1997-1397-2021-14- -554-565.
Denisenko V. V. Energy method in problems of transfer in media moving in multiply connected domains // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2000. V. 15, No. 2. P. 127–143.
Hargreaves J. K. The Upper Atmosphere and Solar-terrestrial Relations. New York: Van Nostrand Reinold, 1979. 319 p.
Денисенко В. В. Симметричные операторы для задач переноса в трехмерных движущихся средах // Сибирский журнал индустриальной математи- ки. 2001. Т. 4, № 1(7). С. 73–82.
Денисенко В. В. Энергетические методы для эллиптических уравнений с несимметричными коэффициентами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1995. 204 с.
Денисенко В. В. Энергетический метод для трехмерных эллиптических уравнений с несимметричными тензорными коэффициентами // Сибирский математический журнал. 1997. Т. 38, № 6. С. 1267–1281.
Денисенко В. В., Помозов Е. В. Расчет глобальных электрических полей в земной атмосфере // Вычислительные технологии. 2010. Т. 15, № 5. С. 34–50.
Коновалов А. Н. Сопряженно-факторизованные модели в задачах математической физики // Сибирский журнал вычислительной математики. 1998. Т. 1, № 1. С. 25–57.
Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. Москва: Гостехиздат, 1957. 378 с.
Оганесян Л. А., Руховец Л. А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд-во АН Арм. ССР, 1979. 235 с.
Фаддеев Д. К., Фаддеев В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Москва: Физматгиз, 1963. 734 с.
Федоренко Р. П. Итерационные методы решения разностных эллиптических задач // Успехи математических наук. 1973. Т. 28, № 2(170). С. 121–182.
Denisenko V. V., Nesterov S. A. Energy Method for the Elliptic Boundary Value Problems with Asymmetric Operators in a Spherical Layer // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2021. V. 14, No. 5. P. 554–565. DOI: 10.17516/1997-1397-2021-14- -554-565.
Denisenko V. V. Energy method in problems of transfer in media moving in multiply connected domains // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2000. V. 15, No. 2. P. 127–143.
Hargreaves J. K. The Upper Atmosphere and Solar-terrestrial Relations. New York: Van Nostrand Reinold, 1979. 319 p.
Статья.pdf