Вестник БГУ. Математика, информатика
Библиографическое описание:
О СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЯХ МЕХАНИЧЕСКИХ КОНСЕРВАТИВНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ // Вестник БГУ. Математика, информатика. - 2025. №4. . - С. 21-30.
Заглавие:
О СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЯХ МЕХАНИЧЕСКИХ КОНСЕРВАТИВНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Финансирование:
Коды:
Аннотация:
В статье предложено обоснование к методу Рауса — Ляпунова для нахождения стационарных движений механических автономных консервативных систем. Изложение вначале проведено для автономных гамильтоновых систем на которые наложены дополнительные условия в виде некоторых алгебраических равенств. Их применение осуществляется известным способом Лагранжа неявного учитывания отмеченных условий, который состоит в формировании связки из гамильтониана исходной системы и алгебраической суммы указанных условий, умноженных на неопределенные вещественные множители. Последние в дальнейшем рассматриваются наравне с переменными системы.
При новом взгляде на интегрирование гамильтоновых систем как бесконечно малое контактное преобразование последнее по существу свелось к нахождению положений равновесия преобразованной системы с учетом введенных ограничений.
Принимая во внимание то обстоятельство, что в консервативных системах гамильтониан состоит из суммы кинетической и потенциальной энергий, этот подход в точности переносится на механические автономные консервативные системы общего вида. Для этого формируется связка, состоящая из алгебраической суммы первых интегралов исходной системы уравнений движения с неопределенными вещественными множителями, участвующими наравне с фазовыми переменными.
Условие постоянства решений для стационарного движения сводит задачу их нахождения к обращению в нуль всех частных производных по фазовым переменным и множителям Лагранжа как в гамильтоновых системах, так и механических автономных консервативных системах общего вида.
В общем случае установлено несовпадение найденных методом Рауса — Ляпунова стационарных движений с решениями положений равновесия изучаемой системы.
При новом взгляде на интегрирование гамильтоновых систем как бесконечно малое контактное преобразование последнее по существу свелось к нахождению положений равновесия преобразованной системы с учетом введенных ограничений.
Принимая во внимание то обстоятельство, что в консервативных системах гамильтониан состоит из суммы кинетической и потенциальной энергий, этот подход в точности переносится на механические автономные консервативные системы общего вида. Для этого формируется связка, состоящая из алгебраической суммы первых интегралов исходной системы уравнений движения с неопределенными вещественными множителями, участвующими наравне с фазовыми переменными.
Условие постоянства решений для стационарного движения сводит задачу их нахождения к обращению в нуль всех частных производных по фазовым переменным и множителям Лагранжа как в гамильтоновых системах, так и механических автономных консервативных системах общего вида.
В общем случае установлено несовпадение найденных методом Рауса — Ляпунова стационарных движений с решениями положений равновесия изучаемой системы.
Ключевые слова:
консервативная автономная система, стационарное движение, первый интеграл, связка интегралов.
Список литературы:
Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика. Ижевск: Удмуртский университет, 1999. 584 с.
Routh E. J. A treatise on the stability of a given state of motion, particulary steadly motion. London.: McMillan, 1877. 108 p.
Routh E. J. The advanced part of a treatiseon the dynamics of a system of rigid bodies. London: McMillan, 1884. 343 p.
Ляпунов А. М. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости // Собрание сочинений. Москва: Изд-во АН СССР, 1954. Т. 1. С. 276–319.
Кузьмин П. А. Малые колебания и устойчивость движения. Москва: Наука, 1973. 206 с.
Аппель П. Теоретическая механика. Москва: ГИФМЛ, 1960. Т. 2. 488 с.
Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. Москва: Наука, 1974. 480 с.
Routh E. J. A treatise on the stability of a given state of motion, particulary steadly motion. London.: McMillan, 1877. 108 p.
Routh E. J. The advanced part of a treatiseon the dynamics of a system of rigid bodies. London: McMillan, 1884. 343 p.
Ляпунов А. М. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости // Собрание сочинений. Москва: Изд-во АН СССР, 1954. Т. 1. С. 276–319.
Кузьмин П. А. Малые колебания и устойчивость движения. Москва: Наука, 1973. 206 с.
Аппель П. Теоретическая механика. Москва: ГИФМЛ, 1960. Т. 2. 488 с.
Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. Москва: Наука, 1974. 480 с.
Статья.pdf